خلاصهٔ این جلسه و سپس متنِ کاملِ پیادهشدهٔ درسگفتار در ادامه آمده است.
ارجاعات بیرونی این جلسه (۳)
نارضایتی از برهانهای فلسفی و محدودیتهای زبان اثبات
[موسیقی]
جلسهٔ قبل بحثها بهطور طبیعی به اینجور چیزها کشیده شد؛ یعنی در این جلسه کمی از فضای بحثهایی که داشتیم میکردیم دور میشوم. ولی فکر میکنم میارزد که کمی در این مورد صحبت کنیم. جلسهٔ قبل شاید اولین جلسه در تمام این سالها بود که خیلی در آن بحث شد. بعد از جلسه فکر کردم چرا اینطور شد و به این نتیجه رسیدم که شاید برای اولین بار در این جلسات، حرف از استدلال کردن، اثبات کردن و چیزهایی از این دست زده شد؛ و ما همان آدمهایی هستیم که اثبات ریاضی دیدهایم.
فکر میکنم مشکلی که در همهٔ بحثهای استدلالی پیش میآید این است که آدمهایی که ذهنشان به فرمالیسم و به اثباتهای دقیق ریاضی عادت کرده، در مباحث فلسفی، کلامی یا هر بحثی که قرار است برای چیزی برهان آورده شود و چیزی اثبات شود، معمولاً یک جور احساس نارضایتی از تمام بودن برهان و ثابت شدن آن چیزی دارند که قرار بود ثابت شود.
میخواهم بگویم این طبیعی است. مثلاً در همین آیاتی که داریم بحث میکنیم، میگوید اگر در بعث شک دارید، بیایید به این چیزها نگاه کنید؛ یکسری واقعیتها را ذکر میکند. حالا کاری که من اینجا کردهام و دیگران هم در طول تاریخ انجام دادهاند، این بوده که این نوع بحثهای قرآنی را تبدیل به برهان و استدلال به معنای فلسفی و اصطلاحاً کلامی کنند. مشکل معمولاً همینجا پیش میآید: وقتی فرم اثبات را میبینید، شاید آن حس اینکه شک کاملاً برطرف شده، به آدم دست ندهد.
وقتی برهان یک قضیهٔ ریاضی را میخوانید، میشود گفت شک شما در مورد اینکه آن گزاره درست است یا نه، بهطور کامل برطرف میشود. ولی موقع مطالعهٔ یک برهان فلسفی یا کلامی، این احساس به آدم دست نمیدهد. فکر میکنم این عمومیت دارد. ماهایی که ریاضیات خواندهایم و برهان ریاضی دیدهایم، برهان فلسفی و کلامی برایمان به آن حدی که شاید برای کسی که زیاد ریاضیات نخوانده و با اثباتهای فرمال آشنا نیست قانعکننده باشد، قانعکننده نیست. یعنی آن ریبی که وجود دارد انگار برطرف نمیشود، در حالی که وقتی اثبات یک قضیهٔ ریاضی را میخوانید، دیگر ریبی باقی نمیماند که آن گزاره حتماً درست است.
ما بهواسطهٔ عادتی که از خواندن ریاضیات پیدا کردهایم، مفهومی از اثبات در ذهنمان داریم که اصلاً خارج از ریاضیات کار نمیکند. شاید هم چندان آگاه نیستیم که انتظار داشتن همان مفهوم اثبات در بیرون از ریاضیات، انتظار بیهودهای است.
اثبات ریاضی و شرطی بودن گزارهها
در ریاضیات کاری که انجام میدهیم این است که در یک مجموعهٔ اصول موضوعهٔ دادهشده، تا حد ممکن دقیق بحث میکنیم. در ریاضیات، این اصول موضوعه بهصورت کاملاً فرمال و صوری نوشته میشوند؛ مثل اینکه یکسری حروف و نماد داریم، یکسری روابط را فرض میکنیم برقرارند، و نهایتاً اثبات به ما میگوید اگر این روابطی که فرض کردید برقرار باشند، رابطهٔ دیگری هم بین این حروف برقرار خواهد بود. این فرم یک اثبات فرمال است که بهنوعی خدشهناپذیر است.
اگر شما اصول منطق را بپذیرید، در اینکه این اثباتها درست هستند بحثی وجود ندارد. ولی همیشه در ریاضیات کاری که میکنیم این است که یک گزاره را داخل یک دستگاه اصل موضوعی ثابت میکنیم. اگر اثبات خودتان را فرمال ننویسید، قطعاً میشود به آن خدشه وارد کرد. یعنی اگر با زبانی کمی غیردقیقتر صحبت کنید، بههرحال ممکن است عدمدقتهایی پیش بیاید که حالت قطعی بودن اثبات را زیر سؤال ببرد.
در طول تاریخ ریاضیات به اینجا رسیدهایم که حداکثر دقت همین است: چیزی را بهصورت فرمال بنویسیم؛ آنقدر دقیق که حتی یک ماشین بتواند این اثبات را بفهمد، بلکه بتواند اثباتی ارائه بدهد. یعنی من میتوانم یک مجموعه اصول موضوعهٔ فرمال را بهعنوان ورودی به دستگاهی بدهم که استدلال منطقی انجام میدهد، گزارههای منطقی را از آن اصول نتیجه میگیرد، و بعد انتظار داشته باشم مجموعهای از روابط را اثبات کند.
این همان چیزی است که میدانید در علوم کامپیوتر یک مبحث وسیع است: نرمافزاری داشته باشیم که برای ما اثبات تولید کند. تنها چیزی که باید فرض کنیم درست است، اصول منطق است. لازم نیست فرض کنم اصولی که در ابتدا پذیرفتهام، خودشان اصول درستیاند.
همهٔ نکته این است که وقتی اثبات ریاضی ارائه میدهید، گزارههایی که ثابت میکنید همیشه گزارههای شرطیاند. چیزی که واقعاً ثابت میکنید آن گزارهٔ انتهایی بهتنهایی نیست. چیزی که ثابت میشود و شکی در آن نداریم این است که اگر گزارههای اولیه و اصول اولیه درست باشند، آنگاه آن گزاره نتیجه میشود. بنابراین همیشه میشود گفت آنچه در انتها به دست آمده، با فرض درستی مقدمات، درست است.
مدلهای علمی و نسبت آنها با جهان خارج
نکتهٔ اول این است که شما دربارهٔ جهان خارج نمیتوانید چنین اثباتی ارائه بدهید. چون گفتم «اولین نکته»، نمیخواهم حرفم را عوض کنم و بگویم «دومین نکته» بود؛ نکتهٔ صفر این است که فقط و فقط وقتی میتوانید بگویید دقت مطلق دارید که همهچیز فرمال شده باشد و در یک دستگاه اصل موضوعی، به همین فرم ریاضی، اثبات ارائه بدهید.
نکتهٔ مهم این است که شما هیچچیز را دربارهٔ جهان خارج نمیتوانید به این معنا اثبات کنید. اگر اثبات همین است، دلیلش روشن است. وقتی دربارهٔ جهان خارج بحث میکنید، اصول موضوعیای که میتوانید از آنها استفاده کنید نهایتاً چنین شکلی دارند: اگر یکسری چیزها دربارهٔ جهان خارج درست باشد، آنگاه یک گزارهٔ دیگر درست است. باز هم گزارهٔ شما شرطی است. معلوم نیست خود جهان خارج نهایتاً چیست و آیا مدل شما با آن منطبق هست یا نه.
فرض کنید یک مدل فیزیکی دربارهٔ جهان داریم. اگر این مدل با جهان خارج منطبق باشد، آنگاه فلان پدیده هم وجود دارد. فکر کنید فیزیک را توانستهاید کاملاً فرمال و اصل موضوعی بیان کنید؛ مثلاً نظریهٔ ریسمان را بهصورت یک دستگاه فرمال نوشتهاید و درون آن استنتاجهای ریاضی دقیقی انجام دادهاید. چیزی که ثابت کردهاید این است که اگر نظریهٔ ریسمان درست باشد و اگر مدل شما با جهان خارج منطبق باشد، آنگاه چنین پدیدهای درست است.
اما ما هرگز نمیدانیم گزارهٔ آخر درست است یا نه، چون هیچوقت نمیتوانیم مطمئن باشیم که مدل ما کاملاً با جهان خارج منطبق است. واضح و بدیهی است که هر اثباتی با این فرم شرطی است. بالاخره یکسری گزارههای اولیه هست که نمیتوانیم ثابتشان کنیم. بعضی از جنبههای مدل را نمیتوانیم ثابت کنیم؛ فرض میکنیم و بعد نتایجی دربارهٔ آن میگیریم.
فیزیک چطور کار میکند؟ چطور سعی میکنیم درستی یک مدل را توجیه کنیم؟ یک مدل یا یک دستگاه اصل موضوعی را بهعنوان مدل جهان فرض میکنیم. بعد درون آن استنتاجهایی انجام میدهیم؛ ممکن است استنتاجهای بسیار وسیعی هم انجام بدهیم و یکسری گزارهها را در مدل ثابت کنیم. سپس صحت مدل را اینطور چک میکنیم که استنتاجهای خودمان را تا جایی ادامه میدهیم که مجموعهای از گزارهها به دست بیاید که از نظر تجربی قابل آزمایش و تست باشند.
اگر نتایجی که گرفتیم، یعنی گزارههایی که در مدل ما درستاند، در تستهای تجربی هم درست از آب درآمدند، احساسی که به ما دست میدهد این است که این مدل مدل خوبی است. ولی نمیگوییم اثبات کردیم نظریهٔ نسبیت اینشتین درست است. الان ما نمیدانیم نظریهٔ نسبیت اینشتین تا همیشه درست است یا نه. فقط فرض کردهایم که مدلی برای دنیا، برای جاذبه و مکانیک در سرعتهای بالا برقرار است. دستکم ۲۰۰ سال مکانیک نیوتونی با شدت خیلی بیشتری از نظریهٔ نسبیت تست شد و همیشه درست بود.
ولی نهایتاً گزارهای از مدل نیوتونی نتیجه میشد که آزمایش کردند و درست نبود. بنابراین کل مدل زیر سؤال رفت. حالا چیزی جانشینش شده، مثل نسبیت؛ این هم ممکن است روزی با گزارهای یا یکی از نتایجش که با آزمایش سازگار نیست روبهرو شود و کل آن را کنار بگذاریم.
تنها کاری که در فیزیک میکنیم این است که به معنایی مبهم، که خیلی هم میشود دربارهاش بحث کرد، احتمال درستی مدلهایمان را بالا میبریم. اینکه اصلاً میشود اینجا از مفهوم احتمال استفاده کرد یا نه، جای بحث دارد. در فلسفهٔ علم این مسئله روشن نیست. یعنی نمیشود خیلی روشن بیان کرد که با تست کردن یکی از این گزارهها، احتمال درستی نظریهٔ ما بالا میرود؛ چون نه فضای احتمالی را میتوانید دقیق تعریف کنید و نه این حرف در ریاضیات حرف روشنی است.
پس نکتهٔ اولی که میخواهم بر آن تأکید کنم این است که انتظار اینکه من یک اثبات دقیق و قطعی، به همان معنای ریاضی، دربارهٔ هر چیزی در جهان پیدا کنم، چه در بحثهای فیزیکی و چه در فلسفه، انتظار واهی است. من هیچ اثبات فرمالی در هیچچیز نمیتوانم پیدا کنم مگر اینکه بگویم اصول موضوعهای را پذیرفتهام.
در ریاضیات برای من مهم نیست که یک نفر بگوید اصول موضوعهٔ گروه درستاند یا غلط. گروه، بهعنوان یک شیء ریاضی، یعنی چند اصل موضوعه. اصلاً معنا ندارد که بپرسیم اینها درستاند یا غلط. من میگویم اگر این اصول برقرار باشند، این ویژگیها و قضیهها را میشود ثابت کرد. چیزی را هم دربارهٔ جهان خارج چک نمیکنم؛ دربارهٔ مدلی که خودم ایجاد کردهام، با دقت کامل بررسی میکنم.
بنابراین هر تلاشی که انجام بدهیم، اثباتهای فرمال چیزی را دربارهٔ جهان برای ما مطلقاً ثابت نمیکنند؛ چون از اصول موضوعهای ناشی میشوند که خودشان ثابت نشدهاند. حداکثر چیزی که ثابت میکنیم این است که به نظر میآید مدلی که در نظر گرفتهایم، با جهان رابطهٔ خوبی دارد.
اینجا یک پرانتز باز میکنم و چیزی را که قبلاً هم گفتهام تکرار میکنم. به نظر میآید در فلسفه ادعایی وجود داشت که یک چیزهایی واقعاً دارد ثابت میشود.
فلسفهٔ قدیم و خواندن همدلانهٔ برهان
ابنسینا، ارسطو، دکارت و آدمهای قدیم تا زمان کانت، احساسشان این بود که واقعاً دارند چیزهایی را به معنای واقعی کلمه ثابت میکنند. مثلاً دکارت فکر میکرد برای وجود خدا برهان دارد؛ برای معاد برهان دارد. اگر به کسی این احساس دست بدهد که آنها اشتباه میکردند، چون فکر میکردند اثبات ارائه میکنند، به نظر من باید کمی دقت کند.
فکر میکنم بسیاری از کسانی که فلسفهٔ مدرن میخوانند، نسبت به اثباتهای قدیمی حس تحقیرآمیزی دارند. اشتباهی که اینجا وجود دارد این است که مفهوم اثبات در ذهن ابنسینا و ارسطو همان چیزی نیست که در ذهن ماست. ما اصولاً کمی بیشتر از یک قرن است که به این معنا از اثبات رسیدهایم؛ اینکه اثبات یعنی اثبات فرمال، یعنی دقتی در حد دستگاه اصل موضوعی. در زمان آنها وقتی از برهان و اثبات حرف میزدند، واقعاً چنین مقدار دقتی مدنظرشان نبود و چنین انتظاری هم از برهانها نداشتند.
قبلاً در جلسات اول اشاره کردم که احساسم این است: برهانهای فلسفی قدیمی یک شرط پنهان در ذهن فیلسوف داشتند، و آن این بود که کسی که برهان را میخواند، همدلانه بخواند. برهان انگار چنین وضعی دارد: من آدمی هستم که ادعا میکنم حقیقتی را دیدهام؛ حالا سعی میکنم آن را به فرمی که حالت منطقی دارد بیان کنم. اگر کسی همدلانه این را بخواند، بهنوعی همان حقیقتی را که من دیدهام میبیند؛ نه اینکه از ابتدا با نیت ایراد پیدا کردن بخواند.
یک فرق فضای فلسفهٔ مدرن با فلسفهٔ قدیم همین است. امروز برهانها را کاملاً به قصد وارد کردن خدشه میخوانند، چون اینطور مقالهٔ جدید تولید میشود. واقعاً دارم میگویم: یک فیلسوف حرفهای یک مقاله را میخواند و اگر بتواند در آن ایرادی پیدا کند، حتماً میتواند مقالهای در همان مجلهای که آن مقاله چاپ شده، چاپ کند. همدلی وجود ندارد؛ فضا اینطور است که برویم به سمت خدشه وارد کردن.
در حالی که مثلاً یک شاگرد فلسفهٔ قدیم وقتی فلسفهٔ ابنسینا میخواند، همهٔ سعیاش این است که به آن چیزی برسد، به آن شهودی برسد که ابنسینا داشته و این برهان از آن درآمده است. یعنی برهان را به معنایی همدلانه، و حتی شاید بتوان گفت مقلدانه و خاضعانه، میخواند. مثل کسی که مؤمن است و پیامبر را فرستادهٔ خدا میداند و قرآن را میخواند: حقیقت مطلقی به پیامبر رسیده و با این زبان برای ما بیان شده؛ حالا ما باید بخوانیم و آن حقیقت را لمس کنیم.
خیلیها ابنسینا را مثل آدم بزرگی میدیدند که حقایق زیادی را کشف کرده و دیده و حالا با زبانی برای ما بیان کرده است. اگر این برهانها را پیگیری کنیم و تلاش کنیم معنایشان را درک کنیم، بهنوعی به شهودی مثل شهود ابنسینا میرسیم و حقایق را کشف میکنیم. الان فضا اینطور نیست. هرچه فضا جدلیتر باشد، شما به اثباتهای دقیقتر محتاج میشوید؛ اثباتهایی که هیچ جور نشود به آنها خدشه وارد کرد.
نتیجه هم این شده که به اینجا رسیدهایم: تنها اثباتهای دقیق، اثباتهای فرمال هستند. قدیم این مقدار دقت مدنظر فیلسوفان نبود. بنابراین تحقیر کردن برهان به معنایی که ابنسینا میگوید، به نظر من از نفهمیدن این میآید که آنها برهان را چه میدانستند و در چه سطحی از دقت برهان میآوردند. بیشتر حس فلسفهٔ قدیم این بود که برهان آوردن، بیان یک شهود است.
قطعهٔ خیلی زیبایی در کتاب «عدل الهی» آقای مطهری هست. زیباییاش از این جهت است که روحانیان و آدمهای قدیمی اصولاً در کتابهایشان زیاد خاطره تعریف نمیکردند؛ بیان کردن بخشی از زندگی فلسفی و علمی خودشان چندان باب نبود. مطهری در جایی به مناسبتی هیجان خودش را بعد از فهم یک قاعدهٔ فلسفی وصف میکند. فکر میکنم قاعده این است که کثیر از واحد صادر نمیشود. توضیح میدهد که وقتی عمق این قاعده را فهمید، روزها هیجانزده بود و احساس میکرد دنیا را بهتر میفهمد.
اینجا هیچ اثبات فرمالی ارائه نشده؛ ولی یک شهود به این آدم تزریق شده است. انگار چیز جدیدی دربارهٔ دنیا فهمیده. من واقعاً فکر میکنم فلسفهٔ مدرن، بهخصوص فلسفهٔ تحلیلی، چنین لحظههایی به بار نمیآورد. بعید میدانم کسی مقالهای در فلسفهٔ تحلیلی بخواند و از اینکه چیزی را درک کرده هیجانزده شود. اگر هیجانی ایجاد شود، معمولاً از این است که یکی از چیزهایی که فکر میکرده فهمیده و درست است، خراب شده است؛ بعد اگر ادامه بدهد، چیزهای دیگری هم که فهمیده بود از دست میدهد و تبدیل میشود به آدمی که دیگر به هیچچیز چندان مطمئن نیست.
همهٔ نکته این است: اگر اثبات و دقت را در سطح مدرنش در نظر بگیرید، نتیجهٔ فلسفه همین میشود که در فلسفهٔ تحلیلی به وجود آمده؛ یعنی حالت شک داشتن به همهچیز. فکر میکنم نتیجهٔ متعالی فلسفهٔ تحلیلی همین است؛ فلسفهٔ تحلیلی یعنی آن بخشی از فلسفه که سعی میکند شبیه علم، شبیه ریاضی و شبیه اثبات فرمال حرف بزند و به چنین سطحی از دقت برسد.
در آنجا نوعی وسواس نسبت به دقت بیان و برهان آوردن وجود دارد. نتیجهاش هم بدیهی است؛ حتی قبل از اینکه چنین فلسفهای را بخوانیم باید حدس بزنیم به چنین جایی میرسد. چون اولاً هیچ چیز فرمالی دربارهٔ جهان نمیشود گفت. ثانیاً گزارههای اولیهٔ شما خودشان مسئله دارند. قبلاً در جلسهٔ یک یا دو روی این نکته تأکید کردم که یک فرق اساسی فضای مدرن با فضای سنتی این است که در فضای سنتی هنوز گزارههای مطلقاً مورد توافق عموم وجود داشت؛ مثلاً اصل امتناع تناقض. امروز حتی اصل امتناع تناقض را هم یکجورهایی میشود زیر سؤال برد. اگر به اصول منطق هم خدشه وارد شود، دیگر اصلاً هیچ برهانی کار نمیکند. این فضای جدیدی است که قبلاً وجود نداشت.
نکتهٔ دوم که میخواهم بگویم، و انگیزهٔ اصلی من از حرفهای امروز بیشتر همین است، به قضیهٔ گودل و محدودیت زبان فرمال مربوط میشود.
قضیهٔ گودل و محدودیت زبان فرمال
یک روز در انجمن حکمت و فلسفه ارائهای دربارهٔ نتایج فلسفی قضیهٔ گودل داشتم. فکر میکنم آنجا ضبط شده و جایی فایل صوتیاش هست. همیشه وقتی به این بحثها میرسم، ارجاع میدهم که یک جایی این حرفها را زدهام. ولی واقعیت این است که آدمهایی که دستکم در این جلسات هستند، آن فایلها را ندارند. تازه شنیدهام قسمتهایی از آن ارائه، که الان میخواهم تکرار کنم، ضبط نشده یا قابل فهم نیست. بنابراین ارجاع من هم تا حدی زیر سؤال است.
چون عادت ندارم حرفهایم را تکرار کنم، معمولاً فکر میکنم گفتهام و دیگر مسئولیتی ندارم. اما بحثهایی که دفعهٔ قبل در کلاس شد، باعث شد به همان ارائه ارجاع بدهم و بعد به نظرم رسید چند دقیقه وقت بگذارم و بخشی را که مربوط به اثباتهای فرمال و میزان اعتبار آنهاست، تکرار کنم. کلمهٔ «اعتبار» را شاید بتوانیم بهجای validity بگذاریم؛ کلمهٔ نسبتاً خوبی است.
میخواهم بگویم میزان اعتبار اثباتهای فرمال را، به دلیلی که فکر میکنم همان قضیهٔ گودل است، میشود زیر سؤال برد. نه میخواهم جزئیات آن ارائه را بگویم، نه برهان دقیق اینکه قضیهٔ گودل چیست. فقط فرم کلی حرفی را که آنجا زدم میگویم.
نکتهٔ اول این بود که اثباتهای فرمال اصلاً چیزی را دربارهٔ جهان خارج ثابت نمیکنند؛ فقط گزارههای شرطی را ثابت میکنند. نکتهٔ دوم این است که میخواهم خود این را هم زیر سؤال ببرم که آیا فرمال بودن، یعنی استفاده از زبان فرمال، همانطور که در ریاضیات صددرصد و در علوم دقیق تا حد ممکن رایج است، واقعاً بهترین صورت دقت است؟
مثلاً وقتی نظریهای مثل مکانیک کوانتوم به وجود میآید، بالاخره آدمی مثل فوننویمان پیدا میشود و کل کوانتوم را با اصول موضوعهٔ فرمال بیان میکند. آدمها احساس میکنند نظریه به سطح دقت قابل قبولی رسیده است. چیزی که میخواهم زیر سؤال ببرم این است که آیا فرمال بودن با دقیق بودن، با داشتن حداکثر دقت، برابر است؟
در اثباتهای فرمال داخل مدل، دقت بالاست؛ ولی انطباق این مدل با جهان خارج خیلی دقیق نیست. حالا میشود سؤال کرد: آیا نمیتوانیم مدل خودمان را با زبانی بنویسیم که مجموعهٔ فرایند، یعنی اثباتهایی که در آن ارائه میشود بهاضافهٔ چک کردن اینکه مدل fit هست یا نیست، بهینه شود؟
من الان زبان را فرمال مینویسم تا در اثباتهای داخل مدل صددرصد مطمئن باشم. بعد مشکل اصلی پیدا میشود: آیا این مدل با جهان خارج fit هست یا نه؟ در این بخش، دچار عدمدقت بزرگی هستیم. حالا آیا نمیتوانم زبان خودم را چیز دیگری در نظر بگیرم تا اثباتها کمی کمتر قطعی باشند، اما شکاف عظیم میان زبان فرمال و جهان خارج کمتر شود؟ این سؤال منطقی است. ممکن است کسی بگوید زبان ایدئال برای اینکه کل این فرایند دقیقتر باشد، چیزی غیر از زبان فرمال است.
برای توضیح این نکته، از مدلی استفاده میکنم که شاید کمی دور از بحث به نظر برسد، ولی از جهتی خیلی بدیهی است؛ هم در مخابرات و مهندسی میبینید، هم بهشکل فلسفیتر و جالبتر در نظریهٔ ادبی.
ریب در قرآن، شهود واقعیت و نقد برهانهای فلسفی
در مخابرات، فرستنده میخواهد پیامی را برای گیرنده بفرستد. در نظریهٔ ادبی هم نویسنده، شاعر یا ادیب متنی مینویسد تا چیزی از هستی را بیان و به مخاطب منتقل کند. معمولاً نموداری وجود دارد که کل فرایند رسیدن پیام یا محتوا از فرستنده به گیرنده را مدل میکند. در بیشتر کتابهای نظریهٔ ادبی چنین شکلی را میبینید: یک فرستنده هست، یک گیرنده هست، نویسندهٔ داستان و خوانندهٔ داستان. میان این دو، یک عمل encoding و یک عمل decoding وجود دارد.
نویسنده سعی میکند آن چیزی را که میخواهد بیان کند، حس خودش را، تبدیل کند به متن؛ متنی که کدگذاری شده است. این متن میتواند زبان شاعرانه باشد، زبان روزمره باشد یا هر چیز دیگر. بههرحال چیزی در بیان هنری encode میشود. این چیز کدگذاریشده به گیرنده میرسد و او باید decode کند؛ یعنی آن معنایی را که فرستنده میخواست بفرستد درک کند.
در این مدل اجزای دیگری هم هست، مثل medium یا رسانه، ولی من کاری به آنها ندارم. چیزی که روشن است این است که وقتی یک پیام، یا اگر بهتر باشد بگوییم یک معنا، از فرستنده به سمت گیرنده میرود، دو عمل انجام میشود: encode کردن و decode کردن.
حالا به ریاضیات و زبان فرمال نگاه کنید. زبان فرمال چه چیزی را در این مجموعه بهینه میکند؟ فرض بر این است که با زبان فرمال، decoding صددرصد انجام میشود. یعنی هر چیزی را که من به زبان ریاضی فرمال مینویسم، طرف مقابل دقیقاً همان را decode میکند. ممکن است من یک شهود هندسی داشته باشم و بخواهم آن را بهصورت یک مدل فرمال بنویسم. قطعاً وقتی دارم encode میکنم، خطاهایی رخ میدهد. شهود هندسی خودم و آن چیزی را که دیدهام، دارم به زبان فرمال مینویسم و در این مرحله گام دشواری برمیدارم.
خود ریاضیدان هم احتمالاً راضی نیست که چیزی که نوشته دقیقاً همان چیزی است که در ذهنش بوده است. شاید حسها و شهودهای هندسیای در ذهنش بوده که ننوشته. چیزی را نوشته که مطمئن باشد آدمی که آن را میخواند، همان نوشته را میفهمد.
ویژگی زبان فرمال این است که همهٔ آدمهایی که آن را میخوانند یک چیز میفهمند. شما اصول موضوعهٔ هندسهٔ اقلیدسی هیلبرت را به هر ریاضیدانی بدهید، حتی به ماشین بدهید، همه یک چیز میفهمند؛ یعنی توافق کامل وجود دارد که این کدهایی که نوشته شدهاند یعنی چه و چطور میشود از آنها استفاده کرد. زبان فرمال انگار یک بازی تعریف میکند و قواعدش را دقیق مینویسد. حالا همه میتوانند آن بازی را بدون ابهام انجام بدهند.
سؤال این است که آیا encoding هم با زبان فرمال خوب انجام میشود یا نه؟ به نظر میآید زبان فرمال، از یک جهت، دورترین زبان برای کد کردن چیزهایی است که ما میفهمیم؛ حتی در ریاضیات، چه برسد به ادبیات. فکر کنید شاعری بخواهد با زبان فرمال احساسات خودش را بیان کند. از اینکه یکسری حروف بگذارد و یک بازی صوری تعریف کند تا حسش در آن بازی بیان شود، چه چیزی درمیآید؟ تقریباً خندهدار است.
بگذارید دربارهٔ شیوهٔ اصل موضوعی به معنای هیلبرتیاش چیزی بگویم. شیوهٔ مدرن اصل موضوعی واقعاً شاید با هیلبرت شکل گرفت؛ کسی که هندسهٔ اقلیدسی را بهطور کامل اصل موضوعی کرد و قواعد کار با دستگاه اصل موضوعی و اثبات سازگاری را بیان کرد. بیان فرمال مدرن ریاضی از اینجا درآمد.
احساس فرمالیستها این است که همهٔ مشکلها از ابهامهایی میآید که در ریاضیات پیش میآید. چه چیزی باعث شد چند هزار سال مردم فکر کنند اصل موضوع پنجم اقلیدس حقیقتی منطبق با جهان خارج است؟ برای اینکه از شهودشان استفاده میکردند. میدیدند که نمیشود اثبات دقیقی برای اصل موضوع پنجم آورد، اما شهودشان میگفت این اصل درست است. ایدهٔ کلی فرمالیستی این است که شهود را کنار بگذاریم و بهجای آن به اثباتهای دقیقی تکیه کنیم که مینویسیم. هر چیزی را که اثبات میکنیم بگوییم درست است، و چیزی را که اثبات نشده بیخود درست ندانیم.
احتمالاً همهٔ شما، چون ریاضی خواندهاید، دیدهاید که در اثباتهای هندسی گاهی یک چیز غلط ثابت میشود. یک شکل رسم میکنند؛ مثلاً یک مثلث و نیمسازها و خطوطی. بعد روی شکل اثباتی انجام میدهند و به نتیجهای کاملاً غلط میرسند؛ مثلاً یک پارهخط کوچکتر با یک پارهخط بزرگتر مساوی درمیآید. چرا؟ چون در روند اثبات، جایی خطی کشیدهاید و فکر کردهاید خط دیگری را قطع میکند، و نقطهای را محل تقاطع گذاشتهاید، در حالی که در اصل چنین تقاطعی وجود ندارد.
شکل اشتباه میتواند اثبات کاملاً غلط به وجود بیاورد. مخصوصاً در هندسه، وابستگی اثباتها به شکل نمونهٔ خیلی روشنی است از اینکه اگر به شهودهای خودمان و به چیزهایی که میبینیم تکیه کنیم، ممکن است چیزهای غلط ثابت کنیم. بنابراین فرمالیست میگوید شهودها را کنار بگذارید؛ آنچه میبینید، حس میکنید یا عقل سلیم به شما میگوید را کنار بگذارید. فقط به آنچه بهصورت صوری میتوانید بنویسید تکیه کنید.
فرمالیستها و کسانی که به فرمالیسم خیلی اهمیت میدهند، آدمهاییاند که با شهود دشمناند و شهود را عامل خطا میدانند. توصیهٔ اخلاقیشان به پیروانشان این است که شهودهایتان را کنار بگذارید و همینچیزها را بنویسید. نقطهٔ حرف من این است که فرمالیسم یعنی کنار گذاشتن شهود. فکر کردن به اثبات فرمال یعنی دور بودن از شهود، شک داشتن به شهودها و چیزهایی که فکر میکنیم بدیهیاند.
از همین توضیح روشن است که در فرمالیسم، انگار encoding وجود ندارد. فرمالیست اصلاً آن مرحله را نمیخواهد انجام بدهد. نمیگوید چیزی پشت این کد هست که من دارم آن را encode میکنم؛ میگوید هرچه درست است همان کدی است که نوشتهام و معنایی پشت آن وجود ندارد.
هیلبرت وقتی کار میکند، چند مفهوم تعریفنشده مثل خط، نقطه و صفحه را فرض میکند، چند اصل موضوعه میگذارد و کل هندسه را نتیجه میگیرد. وقتی به سیستم اصل موضوعی هندسهٔ هیلبرت میرسید، میبینید خیلی چیزهای دیگر هم باید بیان شود؛ مثلاً اینکه بین هر دو نقطه روی یک خط، یک نقطهٔ دیگر وجود دارد. اقلیدس لازم نمیدید این را فرض کند؛ انگار شهوداً بدیهی فرض کرده بود. هیلبرت همهچیز را بیان میکند تا اگر اصولش را به ماشین بدهید، ماشین هم بتواند هندسه را یاد بگیرد. ولی اگر اصول اقلیدس را به ماشین بدهید، هر ماشینی ممکن است نتایج دیگری بگیرد، چون ابهامهایی در آن هست.
استعداد هیلبرت این بود که بتواند همهٔ شهود خودش را تخلیه کند و ببیند چقدر اصل باید بگذارد تا گزارهها واقعاً بهطور منطقی از علامتهایی که میگذارد نتیجه شوند. استعداد واقعی برای کسی که دارد encode میکند، این است که بتواند همهٔ شهود خودش را کنار بگذارد و به جایی برسد که کدهایی که مینویسد برای یک اثباتگر ماشینی کافی باشد.
این دقیقاً کاری است که ما در ادبیات نمیخواهیم بکنیم. همهٔ تکیهٔ ادبیات این است که حس نویسنده تبدیل شود و به حسی در خواننده انتقال پیدا کند. اگر به نویسنده بگوییم حسها، عواطف و شهودهای خودت را کنار بگذار، دیگر چه چیزی برایمان مهم میماند؟ هدف از حرف زدن، هدف نویسنده از نوشتن، این است که حسش تا حد ممکن حسی مشابه در خواننده ایجاد کند.
پس یک سر طیف این است: اگر encoding را اصلاً نخواهید انجام بدهید، ولی decoding را بخواهید صددرصد انجام بدهید، خوب است سراغ زبان فرمال بروید؛ مثل ریاضیات. ریاضیات جایی است که میشود حسها و شهودها را تا حد ممکن کنار گذاشت و به نتیجهای دقیق رسید.
سر دیگر طیف چیست؟ جایی که encoding صددرصد باشد و decoding مشکل پیدا کند. من بهعنوان یک آدم میخواهم با آدمی دیگر ارتباط برقرار کنم، معنایی یا پیامی را منتقل کنم. اگر بخواهم encoding صددرصد باشد و decoding صفر، چه میکنم؟ باید از زبان روزمره استفاده نکنم و برای خودم زبانی درست کنم. برای حسی که الان دارم یک واژه اختراع کنم، یا آوایی سر بدهم. خودم دقیقاً میفهمم این آوا یعنی آن حسی که در این لحظه داشتم؛ اگر بتوانم آن حس را در حافظهام محکم نگه دارم، آن آوا به همان حس اشاره میکند. اما هیچکس دیگری نمیفهمد آن حس چیست و آن آوا یعنی چه.
این چیزی شبیه ایدهٔ زبان خصوصی ویتگنشتاین است. ویتگنشتاین برهان خیلی معروفی دارد که زبان خصوصی محال است؛ زبان اصلاً زبان یکنفره نیست و باید جمعی باشد. بااینحال، فرض کنید هنرمندی هرچه دلش میخواهد بگوید و اصلاً برایش مهم نباشد مردم چه میفهمند؛ فقط برایش مهم باشد که خاطرات و احساسات خودش را کد کند. شاید بتواند تا حدی موفق شود، هرچند مشکلاتی هم دارد. مثلاً آواهایی را ضبط کند و هر وقت آنها را میشنود، یاد روزی بیفتد که فلان احساس را داشته است؛ اما هیچکس دیگر چیزی نمیفهمد.
اینجا از جنبهٔ مشارکتی زبان و ارتباط دور شدهایم. انتقالی صورت نمیگیرد. اگر بخواهم به شما آموزش بدهم که چطور decode کنید، باید دوباره همان آوا را توضیح بدهم، و دوباره وارد مرحلهٔ encoding میشوم؛ باز باید چیزی را کد کنم تا شما بتوانید decode کنید. ممکن است بخشی از معنایی که در ذهن من است منتقل شود، اما مشکل پابرجاست.
من یک طیف را توصیف کردم که دو طرفش انتقال معنا صفر است. یک طرف اصلاً چیزی encode نمیشود؛ خود کدها همهچیزند و شهود کنار گذاشته شده است. این فرمالیسم است. در این سر طیف، encoding صفر است و decoding یک؛ اما حاصلضرب انتقال معنا صفر میشود. در طرف دیگر، encoding یک است و decoding صفر؛ باز هم انتقال معنا صفر میشود.
حس من این است که احتمالاً جایی بین زبان فرمال و زبان خصوصی، یک نقطهٔ بهینه یا ماکسیمم وجود دارد. بالاخره ما میبینیم جاهایی انتقال معنا مثبت است. همین زبانی که با هم حرف میزنیم، معانیای را از ذهن من به ذهن شما منتقل میکند؛ البته با مقداری عدمدقت. اگر یک تابع دوطرفه و بازهای از صفر تا یک فرض کنیم، یک جاهایی مقدارش مثبت است و بهنوعی پیوستگی هم دارد؛ پس احتمالاً جایی اکسترموم یا ماکسیمم دارد.
توضیح من این است که حداکثر انتقال معنا در زبان فرمال اتفاق نمیافتد. یک جاهایی بین زبان فرمال و زبان خصوصی، یا به تعبیر یکی از شما «هنر»، نقطهای وجود دارد. شاید بعضی از شاعران فرانسوی یا بعضی از هنرها واقعاً به سر طیفی نزدیک شده باشند که هنرمند از کار خودش خیلی راضی است و برای خودش حسی دارد، اما آدمها دربارهٔ معنای آن اثر بهشدت اختلاف دارند. چنین هنری ممکن است ارزشهایی داشته باشد، ولی ارزش انتقالیای که الان دربارهاش حرف میزنیم ندارد.
ما داریم از مدلی حرف میزنیم که مدل انتقال است؛ انتقال چیزی از فرستنده به گیرنده. زبان بهینه در این مدل کجاست؟ اگر فرمال نیست، اشتباه اساسی فلسفهای که سعی میکند فرمال باشد این است که انگار بهطور غریزی فرض کرده دقت یعنی فرمال بودن، و فرمال بودن یعنی بیشترین معنا. در حالی که دقت فقط دقت در decoding نیست. دقت باید در کل فرایند مدنظر باشد. ما باید چیزی را بهینه کنیم که فقط decoding نیست؛ باید به حداکثر انتقال معنا از یک سمت به سمت دیگر برسیم.
زبان فرمال زبان خوبی برای انتقال معنا نیست. اگر واقعاً فرمال باشد، یعنی فقط حروف بنویسید و بازی درست کنید، انتقال معنا صفر است. اگر هم به آن نزدیک شوید، یکجورهایی انتقال معنا را به سمت صفر میبرید. شاید یک دلیل اینکه در فلسفهٔ تحلیلی توافقی شکل نمیگیرد همین باشد. اگر از کسی بپرسید چرا فلسفهٔ تحلیلی، که غریزهاش این است که شبیه ریاضیات و علوم دقیق باشد، واگراست و چیزی در آن نمیبینید که روی آن ده سال جلوتر بروید و توافق بیشتر شود، یک دلیل عمده همین است: تلاش برای نزدیک شدن به سر طیفی که انتقال معنا در آن بهینه نیست.
سؤال: آیا این بحث شامل زبان تصویری هم میشود؟
فعلاً با زبان تصویری کاری ندارم. فرض کردهام داریم دربارهٔ زبانهایی صحبت میکنیم که بهصورت واژه و نوشتار بیان میشوند. زبان تصویری میتواند بُعد دیگری به مسئله اضافه کند. مثلاً اگر روزی بتوانیم چیزی را که در تصورمان هست مستقیم روی پرده ظاهر کنیم، امکانات تازهای در این طیف به وجود میآید. شنیدهام در ژاپن آزمایشی انجام شده که با الکترودها چیزی شبیه تصویر خواب را بازسازی کردهاند. واقعاً از نظر علمی دقیق نمیدانم. اما اگر حتی شبیه آن ممکن شود، شاید بتوانیم به زبانهای مشترکی از تصویر و واژه برسیم و بهینه را بهتر کنیم. فعلاً با همین محدودیت زبانهای معمولی و واژهدار بحث میکنم.
سؤال: این بحث چه ربطی به قضیهٔ گودل پیدا میکند؟
قضیهٔ گودل به ما میگوید حتی ریاضیات را نمیشود کامل فرمال کرد؛ حتی حساب را نمیشود. خود قضیهٔ گودل در ریاضیات چیزی را ثابت میکند، اما از نظر فلسفی حساسیت زیادی وجود دارد. معمولاً کسانی که در فضای فلسفهٔ تحلیلیاند، دوست دارند بگویند قضیهٔ گودل هیچ نتیجهٔ فلسفی ندارد. نمیدانم چقدر این بحثها را دنبال کردهاید؛ ولی حساسیتی وجود دارد نسبت به اینکه کسی از قضیهٔ گودل نتیجهٔ فلسفی بگیرد.
محتوای آن ارائه این بود که قضیهٔ گودل از لحاظ فلسفی، غیر از یکسری گزارههای پذیرفتهشده، یک چیز مهم میگوید: شما حتی حساب را نمیتوانید بهطور کامل در یک دستگاه اصل موضوعی فرمال کنید. یعنی شهود ریاضیتان را نمیتوانید بهطور کامل فرمال کنید. این نکتهٔ خیلی مهمی است. ممکن است کسی فکر کند زبان فرمال دستکم میتواند چیز سادهای مثل حساب را بیان کند و گنجایش بیان ادراکات ریاضی ما را دارد؛ ولی قضیهٔ گودل میگوید حتی حساب را هم نمیتوانید در یک دستگاه اصل موضوعی کامل بگنجانید. انگار همیشه چیزی کم میآید.
اگر زبان فرمال حتی در ریاضیات چنین محدودیتی دارد، وضعش برای بیرون از ریاضیات بدتر است. قضیهٔ گودل به کسانی که به فرمالیسم خیلی اهمیت میدهند خدشه وارد میکند: شما سادهترین چیزها را هم نمیتوانید کامل به صورت فرمال بیان کنید؛ حتی شهودتان نسبت به حساب.
قضیهٔ گودل فرمالیستها را دچار شوک کرد. از نظر تاریخی، هیلبرت و طرفداران برنامهٔ هیلبرت میخواستند ریاضیات را فرمال کنند؛ یعنی آن را ماشینی کنند. قضیهٔ گودل نشان داد این برنامه به آن معنا ممکن نیست. قضیهٔ تورینگ هم که دربارهٔ چیزهایی حرف میزند که برایشان الگوریتم پیدا نمیشود، ترجمهٔ کامپیوتری همین فضاست: نمیتوانید بگویید برای حل هر مسئلهای الگوریتم وجود دارد.
البته ممکن است کسی بگوید من ماشینهای پیچیدهای درست میکنم که یک جور شهودهایی هم داشته باشند؛ در آن صورت، قضیهٔ تورینگ به معنای سادهاش دیگر همان بحث نیست. اما آن چیزی که در برنامهٔ هیلبرت بود، با قضیهٔ گودل به هم خورد. فرمال کردن ریاضیات به آن معنا ممکن نیست. این یعنی در زبان فرمال، چیزی از شهود کم میآید.
اگر شما ریاضیات را به معنای هیلبرتی فرمال کنید، یعنی موفق شدهاید کاری کنید که ماشینها مثل آدمها ریاضی حل کنند. اما ماشینها شهود ندارند. ممکن است شما هنگام کار از شهودتان استفاده کنید، ولی آن بازی فرمال فارغ از شهود است. اگر آدمی هیچ شهودی نداشته باشد و فقط فرمالیسم هیلبرت را به او بدهید، چیزی از شهود هندسی به او منتقل نمیشود.
شهود در زبان فرمال نیست؛ شهود در سوابق شماست، در کلاس درس، در مثالهایی که قبلاً به شما گفتهاند، در تصویری که از خط و نقطه و شکل در ذهن دارید. حالا گزارههای هیلبرتی را ناخودآگاه با آن شهودها تطبیق میدهید. اما خود زبان فرمال آن شهود را منتقل نمیکند؛ شهود را از قبل داشتهاید.
قصد من از این بحث این نیست که حتماً ثابت کنم یک نقطهٔ ماکسیمم وجود دارد. شاید کسی بگوید از حرفهای من چنین چیزی درنمیآید. فعلاً نمیخواهم بحث را تا آنجا ادامه بدهم. فقط میخواهم شهودی پیدا کنید که از حس غریزی «فرمالیسم خیلی چیز خوبی است و بهترین شیوهٔ بیان است» آزاد شوید؛ حسی که از ریاضیات و علم دقیق آمده و وارد فلسفه و حتی ذهنیت روزمرهٔ ما شده است.
اگر بخواهیم با زبان علمی و تکاملی حرف بزنیم، میشود گفت اگر زبان وسیلهٔ ارتباط است، در فرایند تکامل موجودات احتمالاً به زبانی نزدیک شدهایم که برای زیست روزمرهٔ انسان بهینه است. زبان روزمرهٔ انسانها احتمالاً نزدیک به نقطهٔ بهینه برای بیان احساسات، افکار و الزاماتی است که به زندگی ما مربوط میشوند. هنرمندها از زبان روزمره فاصله میگیرند چون حسهای پیچیدهای را میخواهند بیان کنند که روزمره نیستند و جنبهٔ زیستی مستقیم ندارند.
اگر مذهبی نگاه کنیم، مسئله روشنتر است. گویی جهان بر اساس زبانی پدید آمده؛ اسماء و صفات الهی پیش از انسان وجود دارند و واژههایی میخواهیم که به آن اسماء اشاره کنند. ساختار کل جهان انگار بر اساس زبانی به وجود آمده که به بشر اهدا شده است. رسالتی که کتابهای مقدس، مخصوصاً قرآن، دارند این است که این زبان را تصفیه کنند.
من بهعنوان آدم مذهبی میگویم زبان بهینه همان واژگان و زبانی است که در قرآن میبینید؛ زبانی که بهترین زبان برای حرف زدن دربارهٔ حقایق جهان است. لزوماً فقط حقایق زیستی هم نیستند؛ برای همین زبان قرآن کمی به سمت زبان هنرمندانه میرود. زبان قرآن زبان محاورهای صرف نیست؛ زبانی است که حالت ادبی دارد. این دیدگاه کلی دستکم میتواند برای آدمهایی که فکر میکنند فرمال کردن بیان دقت را بالا میبرد، تفکربرانگیز باشد. دقت به معنای فرمال، یک بخش از ارتباط را بهتر میکند؛ decoding را بهینهتر میکند، اما چیز بزرگی را از دست میدهد.
فهم قرآن ممکن است decoding آسانی نداشته باشد، ولی میتوانیم فکر کنیم چنین زبانی و چنین واژگانی از نظر انتقال حقیقت، بهتر از این قابل بیان نیست. چرا قرآن پیچیده است؟ چرا از زبان روزمره کمی دور است و شبیه زبان هنرمندان میشود؟ توجیهش این است که نقطهٔ بهینه برای ارتباط برقرار کردن دربارهٔ حقایق جهان و حقایق انسانی، همین جایی است که زبان قرآن قرار دارد. خیلی میشود این بحث را ادامه داد.
سؤال: وقتی از تفکر فرمال و غیرفرمال حرف میزنیم، آیا خود سنجش ما باز فرمال نیست؟ ما با چه چیزی اینها را میسنجیم؟ آیا ذهن ما هنگام حرف زدن فرمال کار نمیکند؟
این دقیقاً نکتهٔ مهمی است. پیشفرضی وجود دارد، و من میگویم این پیشفرض غریزی است، چون معلوم نیست از کجا آمده: اینکه ذهن ما فرمال کار میکند. این خودش در فلسفهٔ ذهن یک مکتب است؛ اینکه فرایند تفکر computational یا فرمال است. اما این از کجا آمده؟ شبیه یک پیشفرض است و من شخصاً آن را قبول ندارم؛ خیلیهای دیگر هم قبول ندارند.
آیا ماشین، یعنی چیزی که فرمال کار میکند، میتواند جانشین فرایندهای ذهنی انسان شود؟ بحث قضیهٔ گودل در فلسفه دقیقاً اینجاست. عدهای برای رد مکتب computationalism سعی میکنند از قضیهٔ گودل استفاده کنند و بگویند قضیهٔ گودل نشان میدهد ذهن صرفاً کامپیوتیشنی نیست. بعضی استدلالهای اولیه غیر دقیق بود و کسانی قضیهٔ گودل را خوب نفهمیده بودند. اما صورت دقیقتر و قابل تأملش را راجر پنروز حدود ۲۰ سال پیش مطرح کرد. دو کتاب نوشت؛ در کتاب اولش در حد یکی دو صفحه موضوع را مطرح کرد. بعد آنقدر اعتراض شد که در کتاب دوم، یعنی Shadows of the Mind، با جزئیات سعی کرد توضیح دهد چرا قضیهٔ گودل این فرض را زیر سؤال میبرد.
در زبان فرمال استعاره ندارید، تصویر ندارید، خیلی چیزهای دیگر ندارید. اینکه آیا مجموعهٔ فرایندهایی که با استعاره، تمثیل، احساس و اینها انجام میشود، همه بهصورت فرمال نوشتنیاند یا نه، زیر سؤال است. برای من شهوداً بدیهی است که کاری که ذهن میکند فرمال نیست. این همه احساس و این همه ابزارهایی که ذهن استفاده میکند، چطور میتواند کاملاً فرمال باشد؟
حتی اگر از نوروساینس بپرسید، آن بخشی از ذهن که کار فرمال انجام میدهد کجاست؟ اگر از مغزتان با دستگاههایی شبیه MRI تصویر بگیرند، میبینید بخشهای زیادی فعالاند، نه فقط بخشی که عملیات فرمال انجام میدهد. بنابراین اگر کشفیات نوروساینس را هم قبول داشته باشید، اینکه همهچیز را بتوان به فرمالیسم فروکاست، زیر سؤال است.
بله، ما تفکر فرمال داریم. وقتی ریاضیات مینویسم، نه وقتی ریاضیات را کشف میکنم، بلکه وقتی مینویسم، بهنوعی عملیات فرمال انجام میدهم. نماد میگذارم و با آنها بازی میکنم تا رشتهها یا sequenceهای جدیدی با قواعد مشخص تولید کنم. شاید واقعاً اگر در این لحظه از مغز یک ریاضیدان تصویر بگیرید، بخشهای مربوط به این عملیات فعال باشند. اما این به معنای فرمال بودن کل ذهن نیست.
نکتهٔ جالب این است که computationalistها معمولاً انتظار دارند اثبات اینکه computationalism غلط است هم فرمال باشد. این خودش همان قاعده است. اگر بگویم اثبات فرمالی ندارم برای اینکه computationalism غلط است، از نظر آنها بیاعتبار است. مثل این است که یک بازی را با قاعدهای شروع کنیم و بعد نقد همان قاعده را فقط درون همان بازی معتبر بدانیم. اگر نقد در آن بازی ممکن نشد، چیزی از دست نرفته؛ شاید اساساً آن قاعده را قبول نداشته باشیم.
در همهٔ ما که ریاضی خواندهایم، گرایشی غریزی به تفکر فرمال وجود دارد. از نظر روانی هم روشن است: وقتی کاری را خیلی خوب بلد باشید، دوست دارید همهچیز را با همان ابزار انجام بدهید. دستی که قویتر است، بیشتر از آن استفاده میکنید؛ دست دیگر ممکن است ضعیفتر شود. ما هم دوست داریم از بخش فرمال ذهنمان استفاده کنیم، چون خوب بلدیم.
من همهٔ این حرفها را زدم چون جلسهٔ قبل از یک نظر جلسهٔ خاصی بود. انگار نزدیک شده بودم به اینکه برای معاد استدلالی بیاورم که ذهن ما از اثباتش انتظار چیزی شبیه اثبات ریاضی دارد. من منکر این هستم که در قرآن چیزی شبیه اثبات ریاضی وجود دارد، و منکر این هستم که خوب است چنین چیزی وجود داشته باشد.
آیه میگوید
يَٰٓأَيُّهَا ٱلنَّاسُ إِن كُنتُمْ فِى رَيْبٍۢ مِّنَ ٱلْبَعْثِ فَإِنَّا خَلَقْنَٰكُم مِّن تُرَابٍۢ ثُمَّ مِن نُّطْفَةٍۢ ثُمَّ مِنْ عَلَقَةٍۢ ثُمَّ مِن مُّضْغَةٍۢ مُّخَلَّقَةٍۢ وَغَيْرِ مُخَلَّقَةٍۢ لِّنُبَيِّنَ لَكُمْ ۚ وَنُقِرُّ فِى ٱلْأَرْحَامِ مَا نَشَآءُ إِلَىٰٓ أَجَلٍۢ مُّسَمًّۭى ثُمَّ نُخْرِجُكُمْ طِفْلًۭا ثُمَّ لِتَبْلُغُوٓا۟ أَشُدَّكُمْ ۖ وَمِنكُم مَّن يُتَوَفَّىٰ وَمِنكُم مَّن يُرَدُّ إِلَىٰٓ أَرْذَلِ ٱلْعُمُرِ لِكَيْلَا يَعْلَمَ مِنۢ بَعْدِ عِلْمٍۢ شَيْـًۭٔا ۚ وَتَرَى ٱلْأَرْضَ هَامِدَةًۭ فَإِذَآ أَنزَلْنَا عَلَيْهَا ٱلْمَآءَ ٱهْتَزَّتْ وَرَبَتْ وَأَنۢبَتَتْ مِن كُلِّ زَوْجٍۭ بَهِيجٍۢ
اى مردم، اگر در باره برانگيخته شدن در شكّيد، پس [بدانيد] كه ما شما را از خاك آفريدهايم، سپس از نطفه، سپس از علقه، آنگاه از مضغه، داراى خلقت كامل و [احياناً] خلقت ناقص، تا [قدرت خود را] بر شما روشن گردانيم. و آنچه را اراده مىكنيم تا مدتى معين در رحمها قرار مىدهيم، آنگاه شما را [به صورت] كودك برون مىآوريم، سپس [حيات شما را ادامه مىدهيم] تا به حد رشدتان برسيد، و برخى از شما [زودرس] مىميرد، و برخى از شما به غايت پيرى مىرسد به گونهاى كه پس از دانستن [بسى چيزها] چيزى نمىداند. و زمين را خشكيده مىبينى و[لى] چون آب بر آن فرود آوريم به جنبش درمىآيد و نمو مىكند و از هر نوع [رستنيهاى] نيكو مىروياند.
اگر در بعث ریب دارید، به این چیزها نگاه کنید. حالا شما نگاه میکنید و چیز فرمالی نمیبینید، پس ریب به معنای فرمالش برطرف نمیشود. ولی بحث این است که قرآن از ریب دیگری حرف میزند.
در زندگی روزمره، شما چقدر ریب دارید در اینکه اگر گرسنه باشید و غذا بخورید، سیر میشوید؟ تا حالا چند بار دچار وسواس ذهنی شدهاید که من این غذا را بخورم یا نخورم، از کجا میدانم سیر میشوم؟ چه برهانی دارم که وقتی غذا میخورم سیر میشوم؟ یک جور استقرای ناقص است: تا حالا هر وقت خوردهام سیر شدهام، پس این دفعه هم میخورم و سیر میشوم. از نظر فرمال، استدلال خیلی ضعیفی است؛ اما ما ریب نداریم.
میشود با محاسبهٔ آماری و احتمالاتی گفت چون چند هزار بار غذا خوردهام و سیر شدهام، احتمال سیر شدنم بالا است. بیش از این نمیتوانید چیزی بگویید. به معنای فرمال، همیشه جایی برای تردید وجود دارد. اما در زندگی عملی، ما اینطور دچار ریب نمیشویم. قرآن ریبهایی در این سطح را میگوید کنار بگذارید، نه در سطح اثبات فرمال.
شما هزار کار در زندگیتان میکنید که برای هیچکدام اثبات فرمال ندارید و هیچ ریبی هم ندارید. من ریب ندارم که دانشگاه صنعتی شریف همینجاست. اگر راه بیفتم و بیایم اینجا، برهانم چیست؟ ممکن است رانش زمین اتفاق افتاده باشد، ممکن است راهها عوض شده باشند. از کجا میدانم امشب خوابیدم و فردا صبح قوانین فیزیکی جهان همان است که دیشب بود؟
در زندگی عملی، ریب معنای دیگری دارد. ریب پیدا کردن آمیختهای از تفکر و عمل است. وقتی کاری را بارها انجام دادهام و نتیجه گرفتهام و هیچوقت شکست نخوردهام، بهطور طبیعی نسبت به آن ریب ندارم، هرچند از نظر ذهنی و فرمال جا برای نوعی تردید هست. بهتر است برای آن تردید فرمال، اسم دیگری بگذاریم؛ مثلاً یک علامت بگذاریم و بگوییم آن چیزی است که با اثبات فرمال برطرف میشود. اما ریب قرآنی آن نیست.
اگر کسی بگوید اینجا نوشته بود این چیزها را نگاه کن تا ریبت برطرف شود، من خواندم و ریبم برطرف نشد، جواب این است که آن «ایکس» فرمالت برطرف نشد؛ چون انتظار داشتی چیزی فرمال بگیری و نگرفتی. اگر اعتقادم به خدا یا معاد را بتوانم به سطح اعتقادهای روزمرهٔ خودم برسانم، موفق شدهام؛ یعنی به سطحی از دانش عملی رسیدهام که در آن، بهطور روزمره، شک نمیکنم.
البته اگر کسی بیاید و بخواهد شما را به شک بیندازد که شام امشب سیرتان نمیکند، شاید موفق شود. هزار دلیل میتواند بیاورد. دربارهٔ اعتقاد به معاد هم ممکن است همین کار را بکند؛ از شما استدلال بخواهد و بعد به بخشهایی از استدلالتان خدشه وارد کند. اما آدمی که به معاد ایمان دارد، به جایی رسیده که در زندگی عادی، همانطور که به غذا خوردنش خیلی فکر نمیکند و شک نمیکند، دربارهٔ معاد هم ریب دائمی ندارد.
چیزی که قرآن در آنچه ما به آن اثبات میگوییم، یا خودش شاید برهان مینامد، ارائه میدهد، فرایند فرمال نیست. مثل این است که به پدیدههایی نگاه کنید و تعمق کنید تا چیزی را ببینید و شهودی برایتان حاصل شود. این فرایند برهان آوردن فرمال نیست.
تمثیلی که قبلاً استفاده کردم، تصاویر سهبعدی است. صفحهای به شما میدهم که روی آن علائم مخدوش هست و میگویم اینطور نگاه کن، به یک نقطه خیره شو، کمی مکث کن، تا پشتش نقشی را ببینی. برهان در اینجا باید با مشارکت شما همراه شود تا آن چیز را ببینید. اگر من بخواهم مقاومت کنم و آن تصویر پشت پرده را نبینم، بهراحتی میتوانم. همانطور که گفتهاند نگاه نمیکنم، خیره نمیشوم و چند دقیقه مکث نمیکنم.
اگر کسی نخواهد حقایق پشت پرده را ببیند، نمیبیند؛ هیچ جور هم نمیشود وادارش کرد. مشارکت میخواهد. اگر من میگویم خبر معاد خبر مهمی است و شما دوست ندارید این را بشنوید، من چه میتوانم بکنم؟ هیچ حقیقتی دربارهٔ جهان، اگر مخاطب نخواهد با بیان من مشارکت کند، منتقل نمیشود.
فضای قرآن بیشتر شبیه این است: به این کلیدها نگاه کنید تا حسی به شما دست بدهد، تا چیزی را ورای این مشاهدات و مقدمات بتوانید درک کنید. من شخصاً وقتی به وضعیت خودم در جنین نگاه میکنم، حسی به من دست میدهد که نمیتوانم خیلی راحت فرمال بیانش کنم. چند جلسه تلاش کردم گزارههایی بیان کنم؛ مثلاً اگر جنین فکر میکرد، میتوانست اینطور استدلال کند. داستانهایی ساختم. اما اصل برای من این است که یکبار در دنیایی بودهام و از آن وارد دنیای دیگری شدهام. این واقعیت برای من خیلی مهم است.
اینکه آنجا نمیتوانستم بفهمم دنیای بعدی چگونه است، و اینکه در آن دنیا ناتمامیای وجود داشت که شاید نشانهٔ مرحلهٔ دیگری از حیات بود، برای من شهود مهمی است. سعی میکنم بیانش کنم، اما لزوماً حس است.
به نظرم دو احساس عمیق و قدیمی میتواند انسان را به ایمانی بیریب نسبت به معاد برساند. یکی احساس تنظیمشده بودن جهان و وجود هماهنگی و عقلانیت عظیم در آن است. علم هم خوب نشان میدهد که بنیان این جهان چقدر دقیق و حسابشده است. قوانینی وجود دارند که گاهی با فرمولهای ریاضی تا رقمهای بسیار دقیق نتیجهٔ مشاهده را پیشبینی میکنند. مثلاً نظریهٔ QED در پیشبینی برخی کمیتها دقتی حیرتآور دارد. این نظم ریاضی عظیم در جهان، انگار همیشه مثل ساعت کار میکند.
شهود اول این است که ما در جهانی بهشدت تنظیمشده زندگی میکنیم؛ پس باید انتظار داشته باشیم همهچیز حسابشده باشد. شهود دوم این است که زندگی انسانها ناتمام است. مثلاً موجوداتی مثل پیامبران با فشار و زحمت زیاد در زندگیشان به جایی میرسند؛ بعد بمیرند و همهچیز تمام شود؟ انگار خللی اینجا وجود دارد. چه نظامی است که چنین موجوداتی را به وجود میآورد و بعد همهچیز را قطع میکند، در حالی که اکثریت انسانها حتی به آنچه پیامبران در مکاشفه و ملاقات رسیدهاند هم نمیرسند؟
تصور دستکم یک جهان دیگر میتواند این مشکل را از نظر حسی حل کند. این دو شهود به نظر من با هم conflict دارند مگر اینکه به جهانی دیگر معتقد شویم. هرقدر این دو شهود قویتر شوند، ایمان به معاد هم عمیقتر میشود.
فکر میکنم قرآن در این آیات سعی میکند همین شهود را با نگاه کردن به سابقهٔ خودمان در جنین، و با احساس ناتمامی زندگی انسان، منتقل کند. میگوید میبینید آدمها به بلوغ میرسند، بعد نزول میکنند، میمیرند یا تبدیل به موجوداتی میشوند که چیزی نمیدانند. چه شد؟ نظام عظیم جهان، که همهچیز در آن تنظیم شده، چه تولید کرد؟ نطفهای که جسمش بهطور کامل ساخته شد، به دنیا آمد، مدتی اینجا بود و بعد تمام شد؟
خیام این حس دوم را خیلی خوب بیان کرده است. بعضیها با خیام دشمناند؛ من کاری ندارم عقیدهٔ خیام چه بوده. خیام بیانکنندهٔ دقیق این حس دوم است. توصیفش از زندگی انسانها، آن احساس آمدن و رفتن کوتاه و ناپدید شدن، خیلی قوی است. فکر میکنم قرآن در این آیات میخواهد شما را به چنین حسی برساند: زندگی را نگاه کنید؛ اگر مرگ پایان باشد، حالت پوچی دارد.
اگر مرگ پایان باشد، زندگی ناتمام و پوچ میشود. خیلی از هنرمندانی که با زبان فرمال حرف نمیزدند و زبانشان نیمهخصوصی بود، این حس را بیان کردهاند؛ احساس ناتمامی زندگی. اتفاقاً بسیاری از آنها کسانی بودند که بهنوعی عقیده به معاد نداشتند. شاید خواندن اشعار خیام برای انتقال این شهود کار خوبی باشد. خیام گزارهای فرمال نمیدهد. حتی اگر فرض کنیم، و من این فرض را قبول ندارم، که خیام خودش معتقد نبوده مرگ پایان است، باز میتوان گفت شعرهایش گزارهای شرطی را بیان میکنند: اگر مرگ پایان زندگی باشد، آنگاه این زندگی همان است که در شعرهای من میبینید.
به نظر من اگر اشعار خیام را شرطی بخوانید، شعرهای دقیق و خوبیاند. احساس زندگی در جهانی ناپایدار و بیمعنا را خوب منتقل میکنند.
سؤال: آیا این شیوه برای برطرف کردن ریب خطرناک نیست؟ اگر به احساسات و شهود تکیه کنیم، هر کسی ممکن است به هر چیزی برسد.
دقیقاً یک احساس خطر وجود دارد، و من سعی کردم بیان کنم که نزدیک شدن بیش از حد به بیان فرمال هم خطرناک است. ما میخواهیم خود این خطر را بفهمیم. چرا احساس خطر نمیکنیم؟ شاید چون آدمهای سادهای را تصور میکنیم که مثلاً استقراهای ساده را قبول دارند و برایشان کافی است. اما از آدمی که خیلی صادقانه رفتار کند و صادقانه استقرا بزند، لزوماً اعتقادات شریف و توصیفات درستی از خداوند، معاد یا روح درنمیآید.
فرمالیسم در کنار دیگر امکانات ذهن
نکتهای که دفعهٔ قبل هم در بحث پیش آمد همین بود: اگر فرمالیسم و استدلال را کنار بگذاریم، با چه معیاری دربارهٔ حرفهای کاملاً بیعقلانه قضاوت میکنیم؟ مسئله کنار گذاشتن نیست. اینکه من بگویم زبان فرمال و بازی با نمادها بهترین کار ممکن نیست، معنایش این نیست که دارم عقل و استدلال را کنار میگذارم.
شاید حرف خودم را بتوانم اینطور ترجمه کنم: ذهن امکانات متعددی برای تشخیص و فهم دارد. یکی از آنها فرمالیسم است؛ یکی استدلال و برهان منطقی است؛ استعاره هم هست؛ چیزهای دیگری هم هست که شاید بشر در فرهنگ خود خیلی روی آنها کار نکرده و رسمیشان نکرده است. مشکل این است که فرمال کردنِ تنها، دور بودن از شهود و احساس و استعاره، مشکل ایجاد میکند.
مثل این است که بگویم فرمالیسم فقط در بخشی از مغز کار انجام میدهد؛ بیایید از همهٔ مغزتان استفاده کنید. ممکن است بتوانم حرفهای احمقانه یا سادهلوحانه را با چیزی شبیه برهان فرمال رد کنم؛ و ممکن است حرفهای دیگری را نتوانم بهصورت فرمال اثبات یا رد کنم. اما مقصود من اثبات درست بودن همهٔ حرفهای غیرفرمال نیست؛ مقصودم اعتراض به محدود کردن خودمان به فرمالیسم است، نه استفاده از فرمالیسم.
اینطور نیست که نتوانید در قرآن دنبال صورتهای استدلالی بگردید. مثلاً آقای جوادی آملی در این کار مهارت دارد و گاهی در برهانهای قرآن چیزی نزدیک به صورت فرمال درمیآورد. اما اگر بخواهید آیاتی را که بعد از کلمهٔ «ریب» آمدهاند، با زبان روزمره هم به صورت «اگر P آنگاه Q» دربیاورید، به نظر من بخش مهمی از آن از بین میرود. چرا دربارهٔ جنین از نطفه، علقه و مضغه حرف زده شده است؟ چون میخواهد حس بدهد؛ میخواهد لحظهای خودتان را در آن جایگاه ببینید.
حرف من این است که اینها از نوع گفتارهاییاند که شهودی را به شما منتقل میکنند، بدون اینکه لزوماً همهچیزشان فرمال باشد. فلسفهٔ قدیم هم به نظر من چنین بود. فیلسوف فکر میکرد اگر کسی این برهانهای نیمهفرمال را بخواند، مکث کند و به ذهن خود اجازه بدهد، شهود عمیقی پیدا میکند؛ مثل همان چیزی که مطهری وصف میکند. شاید آن برهان خدشهپذیر باشد؛ اما اگر شما چیزی را دیدهاید، دیدهاید. مثل تصویر سهبعدی: ممکن است بخشی از برنامهٔ تولید تصویر خطا داشته باشد، ولی شما آن نقش پشت پرده را دیدهاید.
پس حرف من کنار گذاشتن منطق و برهان نیست. حرف این است که خودمان را محدود به این نوع بیان نکنیم. این یکی از انواع بیان است؛ ممکن است مرا به شهودهایی برساند. کنار یک اثبات، ممکن است تصویری نشان بدهم، متن شاعرانهای بخوانم یا به شعر خیام ارجاع بدهم تا شهود ناتمام بودن و بیمعنا بودن عالم انسانی، با فرض نبودن جهان پس از مرگ، منتقل شود. در حرفهای خیام برهان نیست، اما احساس عمیقی هست؛ و واقعاً فکر میکنم در سراسر دنیا از بهترین شعرهایی است که این حس را بیان کردهاند.
پوانکاره، شهود ریاضی و ارزش اثباتهای شهودبخش
سؤال: در مورد خطر فرمال کردن، پوانکاره را چطور باید دید؟ آیا او با اینکه ریاضیدان بزرگی بود، آدمی فرمالی نبود؟
بله، پوانکاره آدم فرمالی به آن معنا نبود. او هندسهدان و ریاضیدانی متکی به شهود بود، و این را صریحاً هم بیان میکرد. از نظر فلسفی هم با هیلبرت مخالف بود. پوانکاره از کسانی است که بهنوعی شهودگرا محسوب میشود.
حالا که نام پوانکاره آمد، توصیه میکنم کسانی که به این بحثها علاقه دارند کتاب «روانشناسی ابداع در ریاضیات» نوشتهٔ هادامار را بخوانند؛ به فارسی هم ترجمه شده است. هادامار خودش ریاضیدان بزرگی است. در اوایل آن کتاب قطعهای از یادداشتهای پوانکاره آمده که پوانکاره سعی کرده چیزهایی را که میدیده، تصویرهایی را که در ذهنش بوده و او را به قضیهای رسانده، توصیف کند. فوقالعاده است. چیزهایی در ذهنش حرکت میکنند؛ هرچه را در آن لحظه دیده و حس کرده، سعی کرده بنویسد؛ اینکه چرا این شهود به او دست داده که این گزاره درست است.
واقعاً اثبات ریاضی اینطور ایجاد میشود. شما اول چیزی را شهود میکنید و بعد به سمت اثبات میروید. اگر ریاضیدانهای دیگر هم در طول زمان تلاش میکردند چیزهایی را که میبینند و حس میکنند بنویسند، میشد از دادههایشان فیلمی ساخت و آدمها را نشاند تا همان حسی را پیدا کنند که پوانکاره داشته؛ اینکه چرا باید چنین گزارهای درست باشد.
البته از نظر ریاضی شاید اینها بهخودیخود ارزش اثباتی نداشته باشند. اگر من یکسری تصویر و توپ و حرکت و برخورد نشان بدهم، از نظر ریاضی جای اثبات را نمیگیرد. اما از جهت آموزش و شهود، بسیار مهم است.
من باور نمیکنم کسی قضیهای را کاملاً فرمال کشف کند. حتماً پشتش شهودها و عدمدقتهایی هست. طرف چیزی میبیند و بعد با زبان فرمال به سمت اثبات آن چیزی که دیده میرود. برای همهٔ ما، اثباتهای باارزش در ریاضیات آنهایی هستند که شهود میدهند. بعضی اثباتهای ریاضی شهود نمیدهند. مثلاً کسی از اثبات قضیهٔ چهاررنگ در نظریهٔ گراف شهودی پیدا نمیکند که چرا قضیه درست است؛ چرا میشود همهٔ نقشههای مسطح را با چهار رنگ رنگآمیزی کرد، طوری که ناحیههای مجاور همرنگ نباشند.
اثبات اولیهٔ قضیهٔ چهاررنگ به چک کردن حدود ۱۴۰۰ شکل منجر میشد و با کامپیوتر انجام شد. این یک جور verify کردن است که گزاره درست است. اما چرا درست است؟ هنوز هم ریاضیدانها دنبال اثباتهایی هستند که شهود بدهد. انگار آن اثبات را از این جهت کافی نمیدانند؛ چون نمیفهمیم چرا قضیهٔ چهاررنگ کار میکند، فقط میدانیم درست است.
اثبات خوب اثباتی است که وقتی میخوانید، انگار بفهمید چرا گزاره باید درست باشد. بعضی اثباتهای ریاضی این خاصیت را دارند و بعضی ندارند. بعضی آنقدر فرمال و دور میشوند که شما وقتی میخوانید، فقط قبول میکنید درست است و باید خیلی کار کنید تا از درون اثبات، شهود بیرون بیاورید.
جمعبندی: تقویت سوی غیررسمی ذهن
بگذارید جلسه را ختم کنم و بحث اثبات و اینها را فعلاً با همین حرفها کنار بگذاریم. جلسهٔ امروز برای من تجربهٔ جالبی بود؛ اینکه سعی کنم توضیح بدهم شاید مشکلی که پیش آمد این بود که ناخودآگاه زیادی رفتم به سمت اینکه چیزی را که قرآن گفته، نزدیک کنم به ذهن فرمالی که آموزش ریاضی و علمی دیده است. خودم هم همین مشکل را دارم؛ بالاخره من هم مثل شما ریاضیات خواندهام.
معنای همهٔ حرفهایی که زدم این نیست که من از اثبات فرمال خوشم نمیآید. ناخودآگاه اگر دو در بگذارید، یکی به سمت اثبات فرمال برود و یکی به سمت اثبات شاعرانه، من هم احتمالاً بیشتر از دری استفاده میکنم که به اثبات فرمال میرود. چون به خودم در آنجا بیشتر اطمینان دارم. اگر قرار باشد شعری بخوانم و حسی را که شاعر داشته بفهمم، احتمال شک من بیشتر است تا وقتی اثبات فرمال میخوانم. برای ما این وضعیت طبیعی شده است.
یکی از مشکلات ارتباط با قرآن همین است: ذهن ما یک جور خاصی کار میکند. دقیقاً یک بخشی از ذهنمان، به معنای روانشناختی، بیشفعال است. همهچیز را سعی میکنیم با همان بخش حل کنیم و روی اثباتهای فرمال project کنیم؛ چون آن را خوب بلدیم. مثل آدمی که یک دستش قویتر از دست دیگر است و همهکار را با همان دست قویتر انجام میدهد؛ دست دیگر هی ضعیفتر میشود.
عاقلانه این است که وقتی میبینید بخشی از ظرفیتتان ضعیف است، روی آن کار کنید. اگر چیزی از سمت چپ به سمت من پرتاب شود و دست چپم عکسالعمل نشان ندهد، ممکن است بلایی سرم بیاید. من روی آن کار نکردهام؛ در واکنش، دست چپم از دست راستم ضعیفتر است. اما میتوانست اینطور نباشد. از وقتی فهمیدم راستدستی و چپدستی وجود دارد، میتوانستم زحمت بکشم و گاهی عمداً کارهایی را با دست چپ انجام بدهم تا آن هم قوی شود.
همین کار را باید با ذهن خودمان بکنیم. وقتی میبینید بخش فرمال ذهن شما به اندازهٔ کافی قوی شده، بروید شعر بخوانید؛ بروید کمی با آن نوع ادراکاتی که غیر فرمالاند کار کنید. واقعاً برای کسی که ریاضیات کار میکند، مهم است با هنر ارتباط داشته باشد؛ کمی شعر بخواند، با استعاره و عواطف سر و کار داشته باشد، تا تبدیل به موجودی عجیبوغریب نشود.
ببخشید؛ هرچه به شما میگویم، به خودم هم میگویم. این نکته مهمی است.